Cas de deux vecteurs colinéaires

Propriété

Soit \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs, non nuls, colinéaires.

• Si  \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ont le même sens, alors \(\vec{u} \cdot{} \vec{v}=\lVert \vec{u} \rVert\times \lVert \vec{v} \rVert\) .
  
• Si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont de sens contraire, alors \(\vec{u} \cdot{} \vec{v}=-\lVert \vec{u} \rVert\times \lVert \vec{v} \rVert\) .
  

Démonstration

Comme \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont deux vecteurs non nuls, il existe  \(\text A,\text B,\text C\) trois points distincts tels que \(\vec{u}=\vec{\text A\text B}\) et \(\vec{v}=\vec{\text A\text C}\) .

• Si   \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires et de même sens, alors \((\vec{\text A\text B};\vec{\text A\text C})=0\) et \(\cos(0)=1\) . On en déduit   \(\vec{u} \cdot{} \vec{v}=\lVert \vec{u} \rVert\times \lVert \vec{v} \rVert\) .
  
• Si   \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires et de sens opposé, alors \((\vec{\text A\text B};\vec{\text A\text C})=\pi\) et \(\cos(\pi)=-1\) . On en déduit   \(\vec{u} \cdot{} \vec{v}=-\lVert \vec{u} \rVert\times \lVert \vec{v} \rVert\) .
  

Nous allons maintenant considérer le cas particulier où \(\vec{u}=\vec{v}\) .

Définition

Soit \(\vec{u}\) un vecteur. Le carré scalaire de  \(\vec{u}\) , noté  \(\vec{u}^2\) , est le nombre réel défini par   \(\vec{u}^2=\vec{u}\cdot\vec{u}\) .

La définition du produit scalaire entraîne   \(\vec{u}^2=\lVert\vec{u}\lVert^2\) .